Kalkulus Contoh

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.2.1.2

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Langkah 1.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Langkah 1.3.5

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Langkah 1.3.6

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- 1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Langkah 1.3.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(- 1)}^{3}}$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} + {(- 1)}^{3}}$

Langkah 1.3.8.1.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{0}{e^{0} + {(- 1)}^{3}}$

Langkah 1.3.8.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Langkah 1.3.8.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.3.8.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.9

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- 2 - 2 x} + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 2 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.7

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7.8

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{- 2 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + 3 x^{2}}$

Langkah 3.9

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 8

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 10

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x}}$

Langkah 11

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x}}$

Langkah 12

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Langkah 13

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Langkah 14

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Langkah 15

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- 1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Langkah 15.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Langkah 16

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Langkah 16.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Langkah 16.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 + 2}}$

Langkah 16.1.4

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{0}}$

Langkah 16.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 \cdot 1}$

Langkah 16.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2}$

Langkah 16.1.7

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{1})$

Langkah 16.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cdot 1$

Langkah 16.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$