Kalkulus Contoh

$y - 2 y^{2} = - x^{3} - y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y - 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} - y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y' - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y' - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y' - 2 (2 y y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$y' - 4 y y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- 4 y y' + y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{3} - y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$- 3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Langkah 3.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 4 y y' + y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $3 y^{2} y'$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y y'$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2

Naikkan $y'$ menjadi pangkat $1$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.2.6

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 4 y + 1 + 3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Susun kembali suku-suku.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.1.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.1.2.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1$ ditambah $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.1.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.1.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ dengan $(3 y - 1) (y - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ dengan $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$