Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 2 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Susun kembali suku-suku.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Tulis kembali $4 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\int 16 \tan^{3} (t) \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.2.6

Kalikan $\sec (t)$ dengan $\sec^{2} (t)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Pindahkan $\sec^{2} (t)$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $\sec^{2} (t)$ dengan $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.2.1

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Langkah 2.2.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 32 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Langkah 2.2.6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 3

Karena $32$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $32$ keluar dari integral.

$32 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 4

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$32 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$32 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 6

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$32 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 7

Kalikan $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$32 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $- 1 u^{2}$ sebagai $- u^{2}$ .

$32 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 8.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$32 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$32 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$32 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$32 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Langkah 13.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$32 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (t)$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{2} x))) + C$