Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali $\cos^{6} (t)$ sebagai ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $\cos (t)$ dari $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Langkah 4

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ ke $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$