Kalkulus Contoh

$y^{x y}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $y^{x y}$ sebagai $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln (y^{x y})$ dengan memindahkan $x y$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = x y \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Langkah 3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y \ln (y)$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 5

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Langkah 6.4

Kalikan $\ln (y)$ dengan $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Langkah 7.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Langkah 7.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$