Kalkulus Contoh

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Langkah 1

Tulis $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

Langkah 4

Faktorkan $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Langkah 6

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Langkah 7

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 7.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Langkah 8

Kalikan $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Langkah 9.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Langkah 9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Langkah 9.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Langkah 9.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Langkah 9.4

Tulis kembali $- 1 u^{4}$ sebagai $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$