Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + 2 x^{2}$ . Kemudian $d u = 4 x d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + 2 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$0 + 4 x$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $4 x$ .

$4 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $2^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Kalikan $2$ dengan $2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Langkah 1.5.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Langkah 1.5.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Langkah 1.5.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Langkah 6.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Langkah 6.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Langkah 6.2.5

Tambahkan $- 1$ dan $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Langkah 6.2.6

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Langkah 6.2.7

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\frac{8}{36}$

Langkah 6.2.8

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Langkah 6.2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.2.1

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Langkah 6.2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Langkah 6.2.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{9}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{9}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{2}$

Langkah 8