Kalkulus Contoh

$\ln (x y) + 5 x = 30$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (x y) + 5 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 5$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 5$

Langkah 2.4.2.2

Gabungkan $\frac{x}{x y}$ dan $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Langkah 2.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Langkah 2.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Langkah 2.4.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Langkah 2.4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Langkah 2.4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5$

Langkah 3

Karena $30$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $30$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5 = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $\frac{1}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{y} + 5 = - \frac{1}{x}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 5$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Langkah 5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan $(- \frac{1}{x} - 5) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = - \frac{1}{x} y - 5 y$

Langkah 5.3.2.1.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 5 y$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 5 y$