Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $9$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.1.3

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $9$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $27$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $9$ .

$\frac{0}{27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Langkah 1.1.3.1.3

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{0}{27 - \sqrt{lim_{x \to 9} x^{3}}}$

Langkah 1.1.3.1.4

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{27 - \sqrt{{(lim_{x \to 9} x)}^{3}}}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $9$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{27 - \sqrt{9^{3}}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{729}}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Tulis kembali $729$ sebagai $27^{2}$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{27^{2}}}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{0}{27 - 1 \cdot 27}$

Langkah 1.1.3.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $27$ dengan $27$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - \sqrt{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.4.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.5

Kurangi $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $27 - \sqrt{x^{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.7

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Langkah 1.3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{3}}$ sebagai $x^{\frac{3}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]}$

Langkah 1.3.8.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}$

Langkah 1.3.8.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}$

Langkah 1.3.8.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Langkah 1.3.8.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Langkah 1.3.8.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Langkah 1.3.8.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}$

Langkah 1.3.8.7.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.3.8.8

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Langkah 1.3.9

Kurangi $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 1.5

Ubah eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali $x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali $x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 \sqrt{x}})$

Langkah 1.6

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 9} 1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Langkah 1.6.2

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Langkah 1.6.3

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ dengan $\frac{2}{3 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{2 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})}$

Langkah 1.6.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 1.6.5

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Langkah 1.6.6

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Langkah 1.6.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.6.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 1.7

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $6 {\sqrt{x}}^{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Langkah 1.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 9} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Langkah 1.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{3 {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{1}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 2.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 2.4

Pindahkan pangkat $2$ dari ${\sqrt{x}}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 9} \sqrt{x})}^{2}}$

Langkah 2.5

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}^{2}}$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $9$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{9}}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Langkah 4.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{3^{2}}}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

Langkah 4.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 9}$

Langkah 4.4

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\frac{1}{27}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{27}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{037}$