Kalkulus Contoh

$4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3} = 28$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (28)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$12 x^{2} - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$12 x^{2} - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$12 x^{2} - 3 (2 x y y') - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x y y' - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$

Langkah 3

Karena $28$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $28$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $12 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2}$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $3 y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$- 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 5.2

Faktorkan $3 y y'$ dari $- 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3 y y'$ dari $- 6 x y y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $3 y y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $3 y y'$ dari $3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y$ .

$3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ dengan $3 y (- 2 x + y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ dengan $3 y (- 2 x + y)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 y (- 2 x + y)$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{y}{- 2 x + y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y (- 2 x + y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y}{- 2 x + y}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + y) y}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(- 2 x + y) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y^{1}}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1 + 1}}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.5

Tulis kembali $4 x^{2}$ sebagai ${(2 x)}^{2}$ .

$y' = \frac{- {(2 x)}^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.6

Susun kembali $- {(2 x)}^{2}$ dan $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - {(2 x)}^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.7

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 2 x$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - (2 x))}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.5.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - 2 x)}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $y - 2 x$ dan $- 2 x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Susun kembali suku-suku.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y + 2 x}{y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 2 x}{y}$