Kalkulus Contoh

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 4^{2}$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

Langkah 1.2

Bagi setiap suku dengan $16$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Langkah 1.3

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = - 2$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 2, - 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + 16}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $16$ dan $16$ .

$\sqrt{32}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$4 \sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2, - 2)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 6, - 2)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(2, - 2), (- 6, - 2)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $16$ dan $16$ .

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Langkah 8.3.2.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $4^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

Langkah 9.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 9.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Langkah 9.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 9.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Langkah 9.3.4.2.4

Bagilah $2 \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Langkah 11.2

Sederhanakan $1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $x - (- 2)$ dengan $1$ .

$y = x - (- 2) - 2$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$y = x + 2 - 2$

Langkah 11.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$y = x + 0$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y = x$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - (- 2)) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$y = - 1 \cdot (x + 2) - 2$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - 1 x - 1 \cdot 2 - 2$

Langkah 12.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 2 - 2$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = - x - 2 - 2$

Langkah 12.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$y = - x - 4$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = x, y = - x - 4$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 2, - 2)$

Verteks: $(2, - 2), (- 6, - 2)$

Titik api: $(- 2 + 4 \sqrt{2}, - 2), (- 2 - 4 \sqrt{2}, - 2)$

Eksentrisitas: $\sqrt{2}$

Parameter Fokus: $2 \sqrt{2}$

Asimtot: $y = x$ , $y = - x - 4$

Langkah 15