Kalkulus Contoh

$\int_{4}^{6} \frac{x^{2} + 2}{x - 2} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{2} + 2$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} - 2 x$

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					+	$2 x$	-	$4$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x - 4$

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$6$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{4}^{6} x + 2 + \frac{6}{x - 2} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{4}^{6} x d x + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Langkah 5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = x - 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 6.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Langkah 6.3

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Langkah 6.5

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6}$ dan $2 x]_{4}^{6}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ pada $6$ dan pada $4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Langkah 9.2

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $4$ dan pada $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $36$ .

$\frac{36}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{18}{1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.3.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$18 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.4

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$18 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.5

Tambahkan $18$ dan $12$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.6

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $16$ .

$30 - (\frac{16}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$30 - (\frac{8}{1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.8.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$30 - (8 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.9

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$30 - (8 + 8) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.10

Tambahkan $8$ dan $8$ .

$30 - 1 \cdot 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$30 - 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 9.3.12

Kurangi $16$ dengan $30$ .

$14 + 6 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Langkah 10

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 + 6 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Langkah 11.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{2})$

Langkah 11.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$14 + 6 \ln (2)$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$14 + 6 \ln (2)$

Bentuk Desimal:

$18.15888308 \dots$

Langkah 13