Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{1}{18}}^{\frac{1}{6}} \csc (3 π t) \cot (3 π t) d t$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \csc (3 π t)$ . Kemudian $d u_{2} = - 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ sehingga $\frac{1}{- 3 π} d u_{2} = \cot (3 π t) \csc (3 π t) d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \csc (3 π t)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\csc (3 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (3 π t)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \csc (t)$ dan $g (t) = 3 π t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 π t]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\csc (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 π t]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 π t$ .

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3 π$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 π t$ terhadap $t$ adalah $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (3 π t) \cot (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) (π \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$

Langkah 1.1.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 3 \csc (3 π t) \cot (3 π t) π$ .

$- 3 π \cot (3 π t) \csc (3 π t)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = \csc (3 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{18})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{18})$

Langkah 1.3.1.2

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$u_{lower} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (6)})$

Langkah 1.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 6})$

Langkah 1.3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{6})$ adalah $2$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = \csc (3 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{6})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{6})$

Langkah 1.5.1.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$u_{upper} = \csc (3 (π) \frac{1}{3 (2)})$

Langkah 1.5.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \csc (3 π \frac{1}{3 \cdot 2})$

Langkah 1.5.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Langkah 1.5.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 3 π} d u_{2}$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{3 π} d u_{2}$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{3 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $- \frac{1}{3 π} u_{2}$ pada $1$ dan pada $2$ .

$(- \frac{1}{3 π} \cdot 1) + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3 π} + \frac{1}{3 π} \cdot 2$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3 π}$ dan $2$ .

$- \frac{1}{3 π} + \frac{2}{3 π}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 2}{3 π}$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{1}{3 π}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{3 π}$

Bentuk Desimal:

$0.10610329 \dots$