Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - 3 x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \ln (0 + 1) - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{3 \ln (1) - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.8.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.8.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.8.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.8.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.9

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 2 x^{2}}{3 \ln (x + 1) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1) - 3 x]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \ln (x + 1) - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \ln (x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \ln (x + 1)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.7

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{3 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.7.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot 1}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3}$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} - 3 \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}$

Langkah 3.9.1.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3}{x + 1} + \frac{- 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 - 3 (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) - 3 (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 3 (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1) + 3 (- (x + 1))}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 (1) + 3 (- (x + 1))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - (x + 1))}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1 \cdot 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (1 - x - 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 (- x + 0)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.5

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{3 \cdot - 1 x}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.6

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.6.1

Buang faktor negatif.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- (3 x)}{x + 1}}$

Langkah 3.9.2.6.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{\frac{- 3 x}{x + 1}}$

Langkah 3.9.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 1}{- \frac{3 x}{x + 1}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Langkah 5

Pertimbangkan limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Langkah 6

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari kiri, nilai fungsinya meningkat tanpa batas.

$\infty$

Langkah 7

Pertimbangkan limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} (4 x + 1) (- \frac{x + 1}{3 x})$

Langkah 8

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan, nilai fungsinya menurun tanpa batas.

$- \infty$

Langkah 9

Karena limit kiri dan sisi kanan tidak sama, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$