Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} - x$

Langkah 1

Kalikan untuk merasionalkan pembilangnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas pembilangnya menggunakan metode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 7 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $7 x + 1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 7 x + 1} + x}$

Langkah 3

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.1.2

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 4.5

Evaluasi limit dari $7$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{7 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.5

Pindahkan suku $7$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{7 + 0}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + 1}$

Langkah 9.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0 + 0} + 1}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

Langkah 9.2.2.2

Tambahkan $1 + 0$ dan $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Langkah 9.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{7}{\sqrt{1} + 1}$

Langkah 9.2.2.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{7}{1 + 1}$

Langkah 9.2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{7}{2}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{7}{2}$

Bentuk Desimal:

$3.5$