Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 + \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 + \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Langkah 1.3.5.2

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Langkah 3

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $4$ dan pada $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Langkah 4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Langkah 5.2

$\frac{7}{2}$ mendekati $3.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Langkah 5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Langkah 5.4

Kalikan $4 (\frac{2}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Langkah 5.4.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (\frac{8}{7})$

Bentuk Desimal:

$0.13353139 \dots$