Kalkulus Contoh

$2 \sin^{2} (x) + 1$

Langkah 1

Tulis $2 \sin^{2} (x) + 1$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 8.3

Kalikan $\int 1 - \cos (2 x) d x$ dengan $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

Langkah 12

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

Langkah 15

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

Langkah 16

Terapkan aturan konstanta.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

Langkah 17.2

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

Langkah 18

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$