Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ sebagai $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $8 x$ sebagai $2^{2} \cdot (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Langkah 1.1.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Langkah 1.1.1.3

Tambahkan tanda kurung.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Langkah 1.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 x}$ sebagai ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.7.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.8

Karena $2^{\frac{3}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.10

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.11

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.13.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.16

Gabungkan $2^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.17.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.17.2

Pindahkan $2^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18

Kalikan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan $2^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.18.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.18.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18.5.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 2.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Langkah 2.7.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Langkah 2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Langkah 2.9

Gabungkan $x^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 2.10

Gabungkan $2^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Pindahkan $2^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.2

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.12

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.12.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.12.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.12.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$