Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 2 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $4 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 10.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 10.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Langkah 10.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Langkah 10.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 10.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 10.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 10.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{6}$ dan pada $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 14.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Evaluasi $\sin (u)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $\frac{π}{6}$ dan $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Langkah 14.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Langkah 14.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Langkah 14.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Langkah 14.3.4

Tambahkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 14.3.5

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Langkah 14.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 14.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 14.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 14.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 14.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Langkah 14.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Langkah 14.4.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Langkah 14.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 14.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 14.4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.18117214 \dots$