Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Langkah 1.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Langkah 1.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Langkah 3

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{4} u^{4}$ pada $1 + \ln (3)$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Langkah 3.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Bentuk Desimal:

$4.59918613 \dots$