Kalkulus Contoh

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Langkah 1

Tulis $y = 3 x^{3} - x - 3$ sebagai fungsi.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} - x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $9 x^{2} - 1$ dan $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Langkah 3

Atur agar turunan pertamanya bernilai $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x^{2} = 1$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $9 x^{2} = 1$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x^{2} = 1$ dengan $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Langkah 3.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 3.4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Langkah 4

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 3$ , dari interval $(- \infty, - \frac{1}{3})$ dalam turunan pertama $9 x^{2} - 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Langkah 5.2.2

Kurangi $1$ dengan $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $80$ .

$80$

Langkah 6

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ dalam turunan pertama $9 x^{2} - 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Langkah 6.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 7

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $3$ , dari interval $(\frac{1}{3}, \infty)$ dalam turunan pertama $9 x^{2} - 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Langkah 7.2.2

Kurangi $1$ dengan $81$ .

$f' (3) = 80$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $80$ .

$80$

Langkah 8

Karena turunan pertamanya berubah tanda dari positif menjadi negatif di sekitar $x = - \frac{1}{3}$ , maka ada titik balik di $x = - \frac{1}{3}$ .

Langkah 9

Tentukan koordinat y dari $- \frac{1}{3}$ untuk menentukan titik belok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tentukan $f (- \frac{1}{3})$ untuk mencari koordinat y dari $- \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2

Sederhanakan $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{27}$ ke dalam pembilangnya.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.5.2

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.7

Kalikan $- (- \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 9.1.2.2.7.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Langkah 9.1.2.3

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Langkah 9.1.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Langkah 9.1.2.3.3

Tulis $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Langkah 9.1.2.3.4

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 9.1.2.3.5

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 9.1.2.3.6

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 9.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 9.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Langkah 9.1.2.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Langkah 9.1.2.5.3

Kurangi $27$ dengan $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Langkah 9.1.2.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{25}{9}$

Langkah 9.2

Tuliskan koordinat $x$ dan $y$ dalam bentuk titik.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Langkah 10

Karena turunan pertamanya berubah tanda dari negatif menjadi positif di sekitar $x = \frac{1}{3}$ , maka ada titik balik di $x = \frac{1}{3}$ .

Langkah 11

Tentukan koordinat y dari $\frac{1}{3}$ untuk menentukan titik belok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tentukan $f (\frac{1}{3})$ untuk mencari koordinat y dari $\frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2

Sederhanakan $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Langkah 11.1.2.3

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Langkah 11.1.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Langkah 11.1.2.3.3

Tulis $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Langkah 11.1.2.3.4

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 11.1.2.3.5

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 11.1.2.3.6

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 11.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Langkah 11.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Langkah 11.1.2.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Langkah 11.1.2.5.3

Kurangi $27$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Langkah 11.1.2.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{29}{9}$

Langkah 11.2

Tuliskan koordinat $x$ dan $y$ dalam bentuk titik.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Langkah 12

Ini adalah titik balik.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Langkah 13