Kalkulus Contoh

Tentukan Antiturunannya (tan(x)+cot(x))^2
(tan(x)+cot(x))2(tan(x)+cot(x))2
Langkah 1
Tulis (tan(x)+cot(x))2(tan(x)+cot(x))2 sebagai fungsi.
f(x)=(tan(x)+cot(x))2f(x)=(tan(x)+cot(x))2
Langkah 2
Fungsi F(x)F(x) dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan f(x)f(x).
F(x)=f(x)dxF(x)=f(x)dx
Langkah 3
Buat integral untuk dipecahkan.
F(x)=(tan(x)+cot(x))2dxF(x)=(tan(x)+cot(x))2dx
Langkah 4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tulis kembali (tan(x)+cot(x))2(tan(x)+cot(x))2 sebagai (tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x)).
(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))dx(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))dx
Langkah 4.2
Perluas (tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x)) menggunakan Metode FOIL.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.2.1
Terapkan sifat distributif.
tan(x)(tan(x)+cot(x))+cot(x)(tan(x)+cot(x))dxtan(x)(tan(x)+cot(x))+cot(x)(tan(x)+cot(x))dx
Langkah 4.2.2
Terapkan sifat distributif.
tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)(tan(x)+cot(x))dxtan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)(tan(x)+cot(x))dx
Langkah 4.2.3
Terapkan sifat distributif.
tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1.1
Kalikan tan(x)tan(x)tan(x)tan(x).
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1.1.1
Naikkan tan(x)tan(x) menjadi pangkat 11.
tan1(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan1(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.1.2
Naikkan tan(x)tan(x) menjadi pangkat 11.
tan1(x)tan1(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan1(x)tan1(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.1.3
Gunakan kaidah pangkat aman=am+naman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
tan(x)1+1+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan(x)1+1+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.1.4
Tambahkan 11 dan 11.
tan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
tan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.2
Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1.2.1
Susun kembali tan(x)tan(x) dan cot(x)cot(x).
tan2(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan2(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.2.2
Tulis kembali tan(x)cot(x)tan(x)cot(x) dalam bentuk sinus dan kosinus.
tan2(x)+cos(x)sin(x)sin(x)cos(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan2(x)+cos(x)sin(x)sin(x)cos(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.2.3
Batalkan faktor persekutuan.
tan2(x)+1+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dxtan2(x)+1+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
tan2(x)+1+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.3
Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1.3.1
Tulis kembali cot(x)tan(x) dalam bentuk sinus dan kosinus.
tan2(x)+1+cos(x)sin(x)sin(x)cos(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.3.2
Batalkan faktor persekutuan.
tan2(x)+1+1+cot(x)cot(x)dx
tan2(x)+1+1+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.4
Kalikan cot(x)cot(x).
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.3.1.4.1
Naikkan cot(x) menjadi pangkat 1.
tan2(x)+1+1+cot1(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.4.2
Naikkan cot(x) menjadi pangkat 1.
tan2(x)+1+1+cot1(x)cot1(x)dx
Langkah 4.3.1.4.3
Gunakan kaidah pangkat aman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
tan2(x)+1+1+cot(x)1+1dx
Langkah 4.3.1.4.4
Tambahkan 1 dan 1.
tan2(x)+1+1+cot2(x)dx
tan2(x)+1+1+cot2(x)dx
tan2(x)+1+1+cot2(x)dx
Langkah 4.3.2
Tambahkan 1 dan 1.
tan2(x)+2+cot2(x)dx
tan2(x)+2+cot2(x)dx
tan2(x)+2+cot2(x)dx
Langkah 5
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
tan2(x)dx+2dx+cot2(x)dx
Langkah 6
Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali tan2(x) sebagai -1+sec2(x).
-1+sec2(x)dx+2dx+cot2(x)dx
Langkah 7
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
-1dx+sec2(x)dx+2dx+cot2(x)dx
Langkah 8
Terapkan aturan konstanta.
-x+C+sec2(x)dx+2dx+cot2(x)dx
Langkah 9
Karena turunan dari tan(x) adalah sec2(x), maka integral dari sec2(x) adalah tan(x).
-x+C+tan(x)+C+2dx+cot2(x)dx
Langkah 10
Terapkan aturan konstanta.
-x+C+tan(x)+C+2x+C+cot2(x)dx
Langkah 11
Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali cot2(x) sebagai -1+csc2(x).
-x+C+tan(x)+C+2x+C+-1+csc2(x)dx
Langkah 12
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
-x+C+tan(x)+C+2x+C+-1dx+csc2(x)dx
Langkah 13
Terapkan aturan konstanta.
-x+C+tan(x)+C+2x+C-x+C+csc2(x)dx
Langkah 14
Karena turunan dari -cot(x) adalah csc2(x), maka integral dari csc2(x) adalah -cot(x).
-x+C+tan(x)+C+2x+C-x+C-cot(x)+C
Langkah 15
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1.1
Tambahkan -x dan 2x.
C+tan(x)+C+x+C-x+C-cot(x)+C
Langkah 15.1.2
Kurangi x dengan x.
C+tan(x)+C+C+0+C-cot(x)+C
Langkah 15.1.3
Tambahkan C+tan(x)+C+C dan 0.
C+tan(x)+C+C+C-cot(x)+C
C+tan(x)+C+C+C-cot(x)+C
Langkah 15.2
Sederhanakan.
tan(x)-cot(x)+C
tan(x)-cot(x)+C
Langkah 16
Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi f(x)=(tan(x)+cot(x))2.
F(x)=tan(x)-cot(x)+C
 [x2  12  π  xdx ]