Masukkan soal...
Kalkulus Contoh
(tan(x)+cot(x))2(tan(x)+cot(x))2
Langkah 1
Tulis (tan(x)+cot(x))2(tan(x)+cot(x))2 sebagai fungsi.
f(x)=(tan(x)+cot(x))2f(x)=(tan(x)+cot(x))2
Langkah 2
Fungsi F(x)F(x) dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan f(x)f(x).
F(x)=∫f(x)dxF(x)=∫f(x)dx
Langkah 3
Buat integral untuk dipecahkan.
F(x)=∫(tan(x)+cot(x))2dxF(x)=∫(tan(x)+cot(x))2dx
Langkah 4
Langkah 4.1
Tulis kembali (tan(x)+cot(x))2(tan(x)+cot(x))2 sebagai (tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x)).
∫(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))dx∫(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))dx
Langkah 4.2
Perluas (tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x))(tan(x)+cot(x)) menggunakan Metode FOIL.
Langkah 4.2.1
Terapkan sifat distributif.
∫tan(x)(tan(x)+cot(x))+cot(x)(tan(x)+cot(x))dx∫tan(x)(tan(x)+cot(x))+cot(x)(tan(x)+cot(x))dx
Langkah 4.2.2
Terapkan sifat distributif.
∫tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)(tan(x)+cot(x))dx∫tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)(tan(x)+cot(x))dx
Langkah 4.2.3
Terapkan sifat distributif.
∫tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
∫tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Langkah 4.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 4.3.1.1
Kalikan tan(x)tan(x)tan(x)tan(x).
Langkah 4.3.1.1.1
Naikkan tan(x)tan(x) menjadi pangkat 11.
∫tan1(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan1(x)tan(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.1.2
Naikkan tan(x)tan(x) menjadi pangkat 11.
∫tan1(x)tan1(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan1(x)tan1(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.1.3
Gunakan kaidah pangkat aman=am+naman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
∫tan(x)1+1+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan(x)1+1+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.1.4
Tambahkan 11 dan 11.
∫tan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
∫tan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan2(x)+tan(x)cot(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.2
Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.3.1.2.1
Susun kembali tan(x)tan(x) dan cot(x)cot(x).
∫tan2(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan2(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.2.2
Tulis kembali tan(x)cot(x)tan(x)cot(x) dalam bentuk sinus dan kosinus.
∫tan2(x)+cos(x)sin(x)⋅sin(x)cos(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan2(x)+cos(x)sin(x)⋅sin(x)cos(x)+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.2.3
Batalkan faktor persekutuan.
∫tan2(x)+1+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx∫tan2(x)+1+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
∫tan2(x)+1+cot(x)tan(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.3
Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.3.1.3.1
Tulis kembali cot(x)tan(x) dalam bentuk sinus dan kosinus.
∫tan2(x)+1+cos(x)sin(x)⋅sin(x)cos(x)+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.3.2
Batalkan faktor persekutuan.
∫tan2(x)+1+1+cot(x)cot(x)dx
∫tan2(x)+1+1+cot(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.4
Kalikan cot(x)cot(x).
Langkah 4.3.1.4.1
Naikkan cot(x) menjadi pangkat 1.
∫tan2(x)+1+1+cot1(x)cot(x)dx
Langkah 4.3.1.4.2
Naikkan cot(x) menjadi pangkat 1.
∫tan2(x)+1+1+cot1(x)cot1(x)dx
Langkah 4.3.1.4.3
Gunakan kaidah pangkat aman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
∫tan2(x)+1+1+cot(x)1+1dx
Langkah 4.3.1.4.4
Tambahkan 1 dan 1.
∫tan2(x)+1+1+cot2(x)dx
∫tan2(x)+1+1+cot2(x)dx
∫tan2(x)+1+1+cot2(x)dx
Langkah 4.3.2
Tambahkan 1 dan 1.
∫tan2(x)+2+cot2(x)dx
∫tan2(x)+2+cot2(x)dx
∫tan2(x)+2+cot2(x)dx
Langkah 5
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
∫tan2(x)dx+∫2dx+∫cot2(x)dx
Langkah 6
Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali tan2(x) sebagai -1+sec2(x).
∫-1+sec2(x)dx+∫2dx+∫cot2(x)dx
Langkah 7
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
∫-1dx+∫sec2(x)dx+∫2dx+∫cot2(x)dx
Langkah 8
Terapkan aturan konstanta.
-x+C+∫sec2(x)dx+∫2dx+∫cot2(x)dx
Langkah 9
Karena turunan dari tan(x) adalah sec2(x), maka integral dari sec2(x) adalah tan(x).
-x+C+tan(x)+C+∫2dx+∫cot2(x)dx
Langkah 10
Terapkan aturan konstanta.
-x+C+tan(x)+C+2x+C+∫cot2(x)dx
Langkah 11
Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali cot2(x) sebagai -1+csc2(x).
-x+C+tan(x)+C+2x+C+∫-1+csc2(x)dx
Langkah 12
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
-x+C+tan(x)+C+2x+C+∫-1dx+∫csc2(x)dx
Langkah 13
Terapkan aturan konstanta.
-x+C+tan(x)+C+2x+C-x+C+∫csc2(x)dx
Langkah 14
Karena turunan dari -cot(x) adalah csc2(x), maka integral dari csc2(x) adalah -cot(x).
-x+C+tan(x)+C+2x+C-x+C-cot(x)+C
Langkah 15
Langkah 15.1
Sederhanakan.
Langkah 15.1.1
Tambahkan -x dan 2x.
C+tan(x)+C+x+C-x+C-cot(x)+C
Langkah 15.1.2
Kurangi x dengan x.
C+tan(x)+C+C+0+C-cot(x)+C
Langkah 15.1.3
Tambahkan C+tan(x)+C+C dan 0.
C+tan(x)+C+C+C-cot(x)+C
C+tan(x)+C+C+C-cot(x)+C
Langkah 15.2
Sederhanakan.
tan(x)-cot(x)+C
tan(x)-cot(x)+C
Langkah 16
Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi f(x)=(tan(x)+cot(x))2.
F(x)=tan(x)-cot(x)+C