Kalkulus Contoh

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ sebagai $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $\tan (x) \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.1.2

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Susun kembali $\tan (x)$ dan $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.2.2

Tulis kembali $\tan (x) \cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.3

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Tulis kembali $\cot (x) \tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.4

Kalikan $\cot (x) \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.4.1

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Langkah 4.3.1.4.2

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Langkah 4.3.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 4.3.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Langkah 9

Karena turunan dari $\tan (x)$ adalah $\sec^{2} (x)$ , maka integral dari $\sec^{2} (x)$ adalah $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Langkah 11

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cot^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Langkah 14

Karena turunan dari $- \cot (x)$ adalah $\csc^{2} (x)$ , maka integral dari $\csc^{2} (x)$ adalah $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Tambahkan $- x$ dan $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Langkah 15.1.2

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Langkah 15.1.3

Tambahkan $C + \tan (x) + C + C$ dan $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$