Kalkulus Contoh

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Gabungkan $2^{\sqrt{x}}$ dan $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 5

Karena $\ln (2)$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\ln (2)$ keluar dari integral.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 6.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 6.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 6.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 6.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 6.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7

Biarkan $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 7.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 7.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 7.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 7.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 7.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 7.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 7.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.1.8.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 8

Kalikan $2$ dengan $2^{u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 8.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 9.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 9.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 9.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 10

Integral dari $2^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ sebagai $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $\ln (2)$ dan $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Langkah 11.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Langkah 11.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

Langkah 11.2.3

Kalikan $2^{u_{2}}$ dengan $1$ .

$2^{u_{2}} + C$

Langkah 12

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + u_{1}$ .

$2^{1 + u_{1}} + C$

Langkah 12.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$