Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

Langkah 1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Langkah 2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Langkah 2.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ sebagai ${u_{1}}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ sebagai ${u_{1}}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2.4.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ dan ${u_{1}}^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

Langkah 3.5

Pindahkan ${u_{1}}^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Kemudian $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ sehingga $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 {u_{1}}^{- 1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

Langkah 6.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

Langkah 6.1.5.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

Langkah 6.1.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 6.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 6.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

Langkah 6.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 6.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Langkah 6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 10

Evaluasi $e^{u_{2}}$ pada $\frac{1}{2}$ dan pada $2$ .

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Langkah 11.2

Gabungkan $e^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Langkah 11.3

Kalikan $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

Langkah 11.3.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

Langkah 11.3.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Bentuk Desimal:

$1.43508370 \dots$

Langkah 13