Kalkulus Contoh

(x + 1) (x + 2) (x + 3)

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Langkah 1

Tulis

(x + 1) (x + 2) (x + 3)

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ sebagai fungsi.

f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Langkah 2

Fungsi

F (x)

$F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan

f (x)

$f (x)$ .

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Langkah 4

Biarkan

u = x + 3

$u = x + 3$ . Kemudian

d u = d x

$d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan

u = x + 3

$u = x + 3$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan

x + 3

$x + 3$ .

\frac{d}{d x} [x + 3]

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x + 3

$x + 3$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [3]

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 4.1.4

Karena

3

$3$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

3

$3$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ dan

d u

$d u$ .

\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan

- 3

$- 3$ dan

1

$1$ .

\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Langkah 5.2

Tambahkan

- 3

$- 3$ dan

2

$2$ .

\int (u - 2) (u - 1) u d u

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

\int (u - 2) (u - 1) u d u

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Langkah 6.5

Terapkan sifat distributif.

\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.7

Susun kembali

u

$u$ dan

- 1

$- 1$ .

\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.8

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.9

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.10

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.11

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.12

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.13

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.14

Tambahkan

2

$2$ dan

1

$1$ .

\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.15

Buang faktor negatif.

\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.16

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.17

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.18

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.19

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.20

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.21

Naikkan

u

$u$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.22

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.23

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Langkah 6.24

Kalikan

- 2

$- 2$ dengan

- 1

$- 1$ .

\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Langkah 6.25

Kurangi

2 u^{2}

$2 u^{2}$ dengan

- u^{2}

$- u^{2}$ .

\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

u^{3}

$u^{3}$ terhadap

u

$u$ adalah

\frac{1}{4} u^{4}

$\frac{1}{4} u^{4}$ .

\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Langkah 9

Karena

- 3

$- 3$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

- 3

$- 3$ keluar dari integral.

\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

u^{2}

$u^{2}$ terhadap

u

$u$ adalah

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Langkah 11

Karena

2

$2$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

2

$2$ keluar dari integral.

\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

u

$u$ terhadap

u

$u$ adalah

\frac{1}{2} u^{2}

$\frac{1}{2} u^{2}$ .

\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

u^{2}

$u^{2}$ .

\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan

2

$2$ dan

\frac{u^{2}}{2}

$\frac{u^{2}}{2}$ .

\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Langkah 13.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Langkah 13.2.3.2

Bagilah

$u^{2}$ dengan

$1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$