Kalkulus Contoh

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{i}$ dan $a_{i + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $3^{- (i + 1)}$ dan $3^{- i}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $3^{- i}$ dari $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Bagilah $3^{- (i + 1) + i}$ dengan $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $- i - 1 + i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tambahkan $- i$ dan $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Langkah 2.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2$ untuk $i$ ke dalam $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

Langkah 3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$a = 9$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ ke dalam pembilangnya.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.8

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $3$ dengan $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11.2

Kurangi $1$ dengan $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $2$ dari $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 (\frac{364}{243})$

Langkah 5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Faktorkan $9$ dari $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Langkah 5.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Langkah 5.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{364}{27}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{364}{27}$

Bentuk Desimal:

$13.\overline{481}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$13 \frac{13}{27}$