Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 8

Faktorkan $9$ dari $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $9$ dari $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 8.2

Faktorkan $9$ dari $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Langkah 8.3

Faktorkan $9$ dari $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 10

Tulis kembali $\frac{1}{9}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Langkah 12.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Langkah 12.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Langkah 12.1.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Langkah 12.2

Tulis kembali $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ sebagai $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 12.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$