Kalkulus Contoh

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ sebagai $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Naikkan $\sin (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.3.1.1.2

Naikkan $\sin (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Langkah 4.3.1.3

Kalikan $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Langkah 4.3.1.3.2

Kalikan $\cos (2 x)$ dengan $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Langkah 4.3.1.3.3

Naikkan $\cos (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Langkah 4.3.1.3.4

Naikkan $\cos (2 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Langkah 4.3.1.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 4.3.1.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 4.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 4.3.3

Kurangi $\cos (2 x) \sin (2 x)$ dengan $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 4.4

Pindahkan $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Langkah 4.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Langkah 7

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 8.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 8.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 8.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Langkah 8.1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 9.2

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Langkah 11

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 13.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 13.3

Kalikan $\int u_{2} d u_{2}$ dengan $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$