Kalkulus Contoh

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Langkah 1.1.1.2.3.2

Gabungkan $\frac{2}{1 + x^{4}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Langkah 1.1.1.2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3.2

Kalikan $x^{4} + 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.6.1

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.4.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.4.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.5

Kurangi $4 x^{4}$ dengan $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.3

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{4} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.3.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.5

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.7

Tulis kembali $- (3 x^{4} - 1)$ sebagai $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagi setiap suku pada $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.1.2.1.2

Bagilah $3 x^{4} - 1$ dengan $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{4} = 1$

Langkah 1.2.3.3

Bagi setiap suku pada $3 x^{4} = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{4} = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.3.3.2.1.2

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2.3.5

Sederhanakan $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Tulis kembali $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Langkah 1.2.3.5.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Langkah 1.2.3.5.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ dengan $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Langkah 1.2.3.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ dengan $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Langkah 1.2.3.5.4.2

Naikkan $\sqrt[4]{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Langkah 1.2.3.5.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Langkah 1.2.3.5.4.4

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5

Tulis kembali ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.4.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Langkah 1.2.3.5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.5.1

Tulis kembali ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Langkah 1.2.3.5.5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Langkah 1.2.3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Langkah 1.2.3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Langkah 1.2.3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.3

Kurangi $1$ dengan $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $81$ dan $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Langkah 4.2.2.3

Naikkan $82$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Langkah 4.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Langkah 4.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $484$ dan $6724$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Langkah 4.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Langkah 4.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Langkah 4.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ karena $f'' (- 3)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Langkah 5.2.3.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 2$

Langkah 5.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.3.2

Tambahkan $81$ dan $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Langkah 6.2.3.3

Naikkan $82$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Langkah 6.2.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Langkah 6.2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $484$ dan $6724$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Langkah 6.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Langkah 6.2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Langkah 6.2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Langkah 6.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ karena $f'' (3)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8