Kalkulus Contoh

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 3 x + 2$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 3 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 5

Gabungkan $u^{4}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan $x^{6}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Langkah 9.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Langkah 9.2.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 6}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $x^{- 5}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Langkah 11.1.2

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Langkah 11.3.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Langkah 11.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Langkah 11.3.4

Kalikan $\frac{1}{5 x^{5}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 2$ .

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$