Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $3$ dari $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Langkah 1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Langkah 1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Langkah 2

Karena $9$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 3 θ$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d θ$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = 3 θ$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Langkah 3.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $3 θ$ terhadap $θ$ adalah $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $θ$ di $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 3.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $θ$ di $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Langkah 3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 4

Gabungkan $\cos^{2} (u_{1})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 12

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 12.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 12.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 12.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 12.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 12.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 12.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 15

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Langkah 16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $u_{1}$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Langkah 16.2

Evaluasi $\sin (u_{2})$ pada $π$ dan pada $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Langkah 16.3

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Langkah 17.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Langkah 17.3

Tambahkan $\sin (π)$ dan $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Langkah 17.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Langkah 18.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Langkah 18.2.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Langkah 18.3

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 18.4

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 18.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Langkah 19

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3 π}{4}$

Bentuk Desimal:

$2.35619449 \dots$