Kalkulus Contoh

$\frac{1}{X^{3} + X}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{X^{3} + X}$ sebagai fungsi.

$f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$

Langkah 2

Fungsi $F (X)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (X)$ .

$F (X) = \int f (X) d X$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (X) = \int \frac{1}{X^{3} + X} d X$

Langkah 4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $X$ dari $X^{3} + X$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Faktorkan $X$ dari $X^{3}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X}$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $X$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X^{1}}$

Langkah 4.1.1.3

Faktorkan $X$ dari $X^{1}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X \cdot 1}$

Langkah 4.1.1.4

Faktorkan $X$ dari $X \cdot X^{2} + X \cdot 1$ .

$\frac{1}{X (X^{2} + 1)}$

Langkah 4.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $X (X^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $X$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $X^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $X$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.6.1.2

Bagilah $A (X^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A (X^{2} + 1) + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A X^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.6.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $X^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.1.6.4.2

Bagilah $(B X + C) (X)$ dengan $1$ .

$1 = A X^{2} + A + (B X + C) (X)$

Langkah 4.1.6.5

Terapkan sifat distributif.

$1 = A X^{2} + A + B X \cdot X + C X$

Langkah 4.1.6.6

Kalikan $X$ dengan $X$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.6.1

Pindahkan $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B (X \cdot X) + C X$

Langkah 4.1.6.6.2

Kalikan $X$ dengan $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B X^{2} + C X$

Langkah 4.1.7

Pindahkan $A$ .

$1 = A X^{2} + B X^{2} + C X + A$

Langkah 4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $X^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 4.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $X$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = C$

Langkah 4.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $X$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 4.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Langkah 4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Langkah 4.3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + B$ dengan $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.3.4

Selesaikan $B$ dalam $0 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.3.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Langkah 4.3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Langkah 4.3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Langkah 4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- 1 X + 0}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{X} + \frac{(- 1) \cdot X + 0}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Tulis kembali $- 1 X$ sebagai $- X$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X + 0}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.5.2.2

Tambahkan $- X$ dan $0$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X}{X^{2} + 1}$

Langkah 4.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{X} - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{X} d X + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{X}$ terhadap $X$ adalah $\ln (| X |)$ .

$\ln (| X |) + C + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $X$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| X |) + C - \int \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

Langkah 8

Biarkan $u = X^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 X d X$ sehingga $\frac{1}{2} d u = X d X$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = X^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d X}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $X^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2} + 1]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $X^{2} + 1$ terhadap $X$ adalah $\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ adalah $n X^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 X + \frac{d}{d X} [1]$

Langkah 8.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $X$ , turunan dari $1$ terhadap $X$ adalah $0$ .

$2 X + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan $2 X$ dan $0$ .

$2 X$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| X |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| X |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $X^{2} + 1$ .

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$ .

$F (X) =$ $\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$