Kalkulus Contoh

$\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = 4 x + 3$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 4 x + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 6.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 7.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 9.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

Langkah 12

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Langkah 13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 13.2

Pindahkan $x^{5}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Langkah 13.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Langkah 13.3.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $x^{- 4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Langkah 15.1.2

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Langkah 15.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 15.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Langkah 15.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Langkah 15.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x + 3$ .

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$