Kalkulus Contoh

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 1 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.1.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 1.1.1.2.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Langkah 1.1.1.2.7

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tulis kembali ${(1 - 2 x)}^{2}$ sebagai $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Langkah 1.1.2.2

Perluas $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Langkah 1.1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Langkah 1.1.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 2 x$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Langkah 1.1.2.3.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Langkah 1.1.2.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Langkah 1.1.2.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Langkah 1.1.2.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Langkah 1.1.2.3.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Langkah 1.1.2.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 4 x + 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Langkah 1.1.2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Langkah 1.1.2.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Langkah 1.1.2.8

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Langkah 1.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Langkah 1.1.2.10

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Langkah 1.1.2.11

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Langkah 1.1.2.13

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Langkah 1.1.2.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.1

Terapkan sifat distributif.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Langkah 1.1.2.14.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Langkah 1.1.2.14.2.2

Kalikan $8$ dengan $- 6$ .

$24 - 48 x$

Langkah 1.1.2.14.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 48 x + 24 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $24$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 48 x = - 24$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $- 48 x = - 24$ dengan $- 48$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 48 x = - 24$ dengan $- 48$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $- 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.1

Faktorkan $- 24$ dari $- 24$ .

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Langkah 1.2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.2.1

Faktorkan $- 24$ dari $- 48$ .

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 48$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $24$ .

$f'' (0) = 24$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f'' (0)$ positif.

Grafik cekung ke atas

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 48$ dengan $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 144$ dan $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 120$ .

$- 120$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (3)$ negatif.

Grafik cekung ke bawah

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Grafik cekung ke atas

Grafik cekung ke bawah

Langkah 7