Kalkulus Contoh

$- y^{2} - x y^{3} - x^{3} = - 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} - x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- y^{2} - x y^{3} - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$- 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$- 2 y y' - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 y y' - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 2 y y' - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.3.7

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

Langkah 2.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3} - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 2 y y' - 3 x y^{2} y' - y^{3} - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$- y^{3} - 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y'$

Langkah 3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- y^{3} - 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $y^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$- 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $3 x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} + 3 x^{2}$

Langkah 5.2

Faktorkan $y y'$ dari $- 2 y y' - 3 y^{2} x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y y'$ dari $- 2 y y'$ .

$y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} x y' = y^{3} + 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y y'$ dari $- 3 y^{2} x y'$ .

$y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y y'$ dari $y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y x)$ .

$y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$ dengan $y (- 2 - 3 y x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$ dengan $y (- 2 - 3 y x)$ .

$\frac{y y' (- 2 - 3 y x)}{y (- 2 - 3 y x)} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (- 2 - 3 y x)}{y (- 2 - 3 y x)} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (- 2 - 3 y x)}{- 2 - 3 y x} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 - 3 y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 - 3 y x)}{- 2 - 3 y x} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{3}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(- 2 - 3 y x) y$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{(- 2 - 3 y x) y} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(- 2 - 3 y x) y$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} y + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{1} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{y^{2 + 1} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.5.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.6

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2) - 3 y x)}$

Langkah 5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2) - (3 y x))}$

Langkah 5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (2) - (3 y x)$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2 + 3 y x))}$

Langkah 5.3.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (2 + 3 y x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (2 + 3 y x)}$