Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Langkah 1.1.1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} - 16 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 1.2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 1.2.6

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2, 2$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 2$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 2$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$16 - 32 + 2$

Langkah 1.4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.2.1

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$- 16 + 2$

Langkah 1.4.2.2.2.2

Tambahkan $- 16$ dan $2$ .

$- 14$

Langkah 1.4.3

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Langkah 1.4.3.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$16 - 32 + 2$

Langkah 1.4.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.2.1

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$- 16 + 2$

Langkah 1.4.3.2.2.2

Tambahkan $- 16$ dan $2$ .

$- 14$

Langkah 1.4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Langkah 3

Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 3.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - 2)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 16 x$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $- 256$ dan $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Langkah 3.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 192$ .

$- 192$

Langkah 3.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 1$ , dari interval $(- 2, 0)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 16 x$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Langkah 3.3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 3.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $1$ , dari interval $(0, 2)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 16 x$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Langkah 3.4.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Langkah 3.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$f' (1) = - 12$

Langkah 3.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12$ .

$- 12$

Langkah 3.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(2, \infty)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 16 x$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Kalikan $4$ dengan ${(4)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.1

Kalikan $4$ dengan ${(4)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Langkah 3.5.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Langkah 3.5.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Langkah 3.5.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Langkah 3.5.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Langkah 3.5.2.2

Kurangi $64$ dengan $256$ .

$f' (4) = 192$

Langkah 3.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $192$ .

$192$

Langkah 3.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = - 2$ , maka $x = - 2$ adalah minimum lokal.

$x = - 2$ adalah minimum lokal

Langkah 3.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 3.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 2$ , maka $x = 2$ adalah minimum lokal.

$x = 2$ adalah minimum lokal

Langkah 3.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ adalah minimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = 2$ adalah minimum lokal

$x = - 2$ adalah minimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = 2$ adalah minimum lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(0, 2)$

Minimum Mutlak: $(- 2, - 14)$

Langkah 5