Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 1

Karena $4$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2$ ditambah $2$

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ sebagai $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (θ)$ sebagai $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 4

Biarkan $u = \tan (θ)$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \tan (θ)$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $θ$ di $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Langkah 4.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $θ$ di $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.5

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Langkah 5

Kalikan $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $u^{4}$ dengan $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Langkah 6.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ dan $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.3

Untuk menuliskan $\frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.4

Untuk menuliskan $\frac{1}{7}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $35$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.5.2

Kalikan $5$ dengan $7$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.5.3

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.5.4

Kalikan $7$ dengan $5$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.7

Tambahkan $7$ dan $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.9.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.9.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

Langkah 12.2.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

Langkah 12.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.11.1

Faktorkan $7$ dari $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

Langkah 12.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.11.2.1

Faktorkan $7$ dari $7$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Langkah 12.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Langkah 12.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

Langkah 12.2.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

Langkah 12.2.12

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

Langkah 12.2.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

Langkah 12.2.14

Tambahkan $\frac{12}{35}$ dan $0$ .

$4 (\frac{12}{35})$

Langkah 12.2.15

Gabungkan $4$ dan $\frac{12}{35}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

Langkah 12.2.16

Kalikan $4$ dengan $12$ .

$\frac{48}{35}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{48}{35}$

Bentuk Desimal:

$1.37142857 \dots$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{13}{35}$