Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2$ ditambah

$2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 1.2

Tulis kembali

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ sebagai

$\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 2

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali

$\sec^{2} (θ)$ sebagai

$1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 3

Biarkan

$u = \tan (θ)$ . Kemudian

$d u = \sec^{2} (θ) d θ$ sehingga

$\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan

$u$ dan

$d$

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan

$u = \tan (θ)$ . Tentukan

$\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan

$\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari

$\tan (θ)$ terhadap

$θ$ adalah

$\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk

$θ$ di

$u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari

$\tan (0)$ adalah

$0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk

$θ$ di

$u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 3.5

Nilai eksak dari

$\tan (\frac{π}{4})$ adalah

$1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

$u_{lower}$ dan

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u$ ,

$d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Langkah 4

Kalikan

$(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan

$u^{4}$ dengan

$1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Langkah 5.2

Kalikan

$u^{2}$ dengan

$u^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Langkah 5.2.2

Tambahkan

$2$ dan

$4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$u^{4}$ terhadap

$u$ adalah

$\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$u^{6}$ terhadap

$u$ adalah

$\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Langkah 9

Gabungkan

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ dan

$\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ pada

$1$ dan pada

$0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.2

Kalikan

$\frac{1}{5}$ dengan

$1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.4

Kalikan

$\frac{1}{7}$ dengan

$1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.5

Untuk menuliskan

$\frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.6

Untuk menuliskan

$\frac{1}{7}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari

$35$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari

$1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.7.1

Kalikan

$\frac{1}{5}$ dengan

$\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7.2

Kalikan

$5$ dengan

$7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7.3

Kalikan

$\frac{1}{7}$ dengan

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7.4

Kalikan

$7$ dengan

$5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.9

Tambahkan

$7$ dan

$5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.10

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.11

Kalikan

$\frac{1}{5}$ dengan

$0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.12

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Langkah 10.2.13

Kalikan

$\frac{1}{7}$ dengan

$0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Langkah 10.2.14

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Langkah 10.2.15

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Langkah 10.2.16

Tambahkan

$\frac{12}{35}$ dan

$0$ .

$\frac{12}{35}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{12}{35}$

Bentuk Desimal:

$0.3\overline{428571}$