Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2$ ditambah $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 1.2

Tulis kembali ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ sebagai $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 2

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sec^{2} (θ)$ sebagai $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Langkah 3

Biarkan $u = \tan (θ)$ . Kemudian $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ sehingga $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \tan (θ)$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $θ$ di $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $θ$ di $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 3.5

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Langkah 4

Kalikan $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $u^{4}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Langkah 5.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ dan $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.4

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.5

Untuk menuliskan $\frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.6

Untuk menuliskan $\frac{1}{7}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $35$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.7.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7.2

Kalikan $5$ dengan $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7.3

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.7.4

Kalikan $7$ dengan $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.9

Tambahkan $7$ dan $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.11

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 10.2.12

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Langkah 10.2.13

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Langkah 10.2.14

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Langkah 10.2.15

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Langkah 10.2.16

Tambahkan $\frac{12}{35}$ dan $0$ .

$\frac{12}{35}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{12}{35}$

Bentuk Desimal:

$0.3\overline{428571}$