Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $5 x^{3}$ dan $8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{13 x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 1.2

Pindahkan suku $13$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$13 \frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$13 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$13 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Pindahkan suku $16$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 2.1.3.5

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$13 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

Langkah 2.1.3.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.7.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$13 \frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

Langkah 2.1.3.7.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$13 \frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

Langkah 2.1.3.7.1.4

Kalikan $- 16$ dengan $0$ .

$13 \frac{0}{0 + 0}$

Langkah 2.1.3.7.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$13 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.1.3.7.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$13 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.1.3.8

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$13 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$13 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$13 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 16 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3.4.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

Langkah 2.3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 2.3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 16 \cdot 2 x}$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 16$ .

$13 lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Langkah 3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Langkah 4.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$13 \cdot 3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Langkah 4.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \cdot 3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Langkah 4.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

Langkah 4.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Langkah 4.1.3.2

Pindahkan suku $12$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Langkah 4.1.3.3

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

Langkah 4.1.3.4

Pindahkan suku $32$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 4.1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 4.1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

Langkah 4.1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.6.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

Langkah 4.1.3.6.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

Langkah 4.1.3.6.1.3

Kalikan $- 32$ dengan $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0 + 0}$

Langkah 4.1.3.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Langkah 4.1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Langkah 4.1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Langkah 4.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$13 \cdot 3 \frac{0}{0}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

Langkah 4.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{3} - 32 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Langkah 4.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Langkah 4.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{12 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Langkah 4.3.4.3

Kalikan $3$ dengan $12$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

Langkah 4.3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Karena $- 32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 32 x$ terhadap $x$ adalah $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 4.3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

Langkah 4.3.5.3

Kalikan $- 32$ dengan $1$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{36 x^{2} - 32}$

Langkah 4.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $36 x^{2} - 32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{36 x^{2} - 32}$

Langkah 4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $36 x^{2}$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 18 x^{2} - 32}$

Langkah 4.4.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 32$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 18 x^{2} + 2 \cdot - 16}$

Langkah 4.4.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (18 x^{2}) + 2 (- 16)$ .

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Langkah 4.4.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (18 x^{2} - 16)}$

Langkah 4.4.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$13 \cdot 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{18 x^{2} - 16}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - 16}$

Langkah 5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Langkah 5.3

Pindahkan suku $18$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Langkah 5.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $16$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$13 \cdot 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Langkah 6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Langkah 6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$13 \cdot 3 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $13$ dengan $3$ .

$39 \frac{0}{18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16}$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $18 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $18 \cdot 0^{2}$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 \cdot 16}$

Langkah 7.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 \cdot 16$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)}$

Langkah 7.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (- 18 \cdot 0^{2}) - 1 (16)$ .

$39 \frac{0}{- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Langkah 7.2.4

Tulis kembali $- (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ sebagai $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Langkah 7.2.5

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$39 \frac{2 (0)}{- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)}$

Langkah 7.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 1 (- 18 \cdot 0^{2} + 16)$ .

$39 \frac{2 (0)}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Langkah 7.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$39 \frac{2 \cdot 0}{2 (- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8))}$

Langkah 7.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0^{2} + 8)}$

Langkah 7.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (- 9 \cdot 0 + 8)}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$39 \frac{0}{- 1 (0 + 8)}$

Langkah 7.3.3

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$39 \frac{0}{- 1 \cdot 8}$

Langkah 7.4

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$39 (\frac{0}{- 8})$

Langkah 7.5

Bagilah $0$ dengan $- 8$ .

$39 \cdot 0$

Langkah 7.6

Kalikan $39$ dengan $0$ .

$0$