Kalkulus Contoh

$x \sin^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis $x \sin^{2} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \sin^{2} (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \sin^{2} (x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Langkah 8

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 11.2

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

Langkah 12

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

Langkah 13.1.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Langkah 13.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$\frac{x^{2}}{2} - x \frac{\sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Gabungkan $\frac{\sin (2 x)}{4}$ dan $x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 13.3.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 13.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

Langkah 13.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{8}) \cos (u)) + C$

Langkah 13.3.5

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} \cos (u)) + C$

Langkah 13.3.6

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) + C$

Langkah 13.3.7

Untuk menuliskan $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Langkah 13.3.8

Gabungkan $- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

Langkah 13.3.10

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 (- 1) \frac{\cos (2 x)}{8}}{4} + C$

Langkah 15.3.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Langkah 15.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

Langkah 15.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- \sin (2 x) x - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (2 x) x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - x^{2} - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Langkah 16.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x) - (x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Langkah 16.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (2 x) x) - (x^{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Langkah 16.4

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Langkah 16.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (2 x) x + x^{2}) - (\frac{\cos (2 x)}{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Langkah 16.6

Tulis kembali $- (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ sebagai $- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2})}{4} + C$

Langkah 16.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Langkah 16.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sin (2 x) x + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

Langkah 16.9

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} (x \sin (2 x) + x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$