Kalkulus Contoh

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $2$ .

$- 1, 3$

Langkah 1.1.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Langkah 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Langkah 1.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.6.2

Bagilah $3 x + 5$ dengan $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.7.1.2

Bagilah $(A) (x + 3)$ dengan $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.7.4.2

Bagilah $(B) (x - 1)$ dengan $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Langkah 1.1.7.5

Terapkan sifat distributif.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Langkah 1.1.7.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Langkah 1.1.7.7

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Langkah 1.1.8

Pindahkan $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$3 = A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$5 = 3 A - 1 B$

Langkah 1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Selesaikan $A$ dalam $3 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

Langkah 1.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $3 - B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $5 = 3 A - 1 B$ dengan $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan $3 (3 - B) - 1 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.4

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Kurangi $B$ dengan $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $5 = 9 - 4 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3.2.2

Kurangi $9$ dengan $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3.3

Bagi setiap suku pada $- 4 B = - 4$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $- 4 B = - 4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

Langkah 1.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = 3 - B$ dengan $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

Langkah 1.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Sederhanakan $3 - (1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

Langkah 1.3.4.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

Langkah 1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = 2, B = 1$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Langkah 1.5

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Langkah 4.3

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Langkah 4.5

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = x + 3$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = x + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

Langkah 6.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$u_{lower} = 6$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

Langkah 6.5

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$u_{upper} = 8$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\ln (| u_{1} |)$ pada $4$ dan pada $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Langkah 8.2

Evaluasi $\ln (| u_{2} |)$ pada $8$ dan pada $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

Langkah 8.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Langkah 9.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Langkah 10.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Langkah 10.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Langkah 10.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $8$ adalah $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

Langkah 10.5

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $6$ adalah $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

Langkah 10.6

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

Langkah 10.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Langkah 10.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Langkah 10.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Bentuk Desimal:

$1.67397643 \dots$

Langkah 12