Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} - 4 x$ . Kemudian $d u = (2 x - 4) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} - 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$2 x - 4$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Langkah 1.3.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Langkah 1.5.2

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $- 3$ dan pada $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangi $\ln (| - 3 |)$ dengan $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 5.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 6