Kalkulus Contoh

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- d u = \sin (x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Langkah 4

Biarkan $u = 2 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positif.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.5

Susun kembali suku-suku.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.7

Tulis kembali $4 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 \sec (t)$ dari $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \int \sec (t) d t$

Langkah 6

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Langkah 8

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Langkah 8.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Langkah 9

Susun kembali suku-suku.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$