Kalkulus Contoh

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika

t

$t$ mendekati

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Langkah 2

Biarkan

u = π x

$u = π x$ . Kemudian

d u = π d x

$d u = π d x$ sehingga

\frac{1}{π} d u = d x

$\frac{1}{π} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan

u = π x

$u = π x$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan

π x

$π x$ .

\frac{d}{d x} [π x]

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 2.1.2

Karena

π

$π$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

π x

$π x$ terhadap

x

$x$ adalah

π \frac{d}{d x} [x]

$π \frac{d}{d x} [x]$ .

π \frac{d}{d x} [x]

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

π \cdot 1

$π \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan

π

$π$ dengan

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk

x

$x$ di

u = π x

$u = π x$ .

u_{lower} = π \cdot 1

$u_{lower} = π \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan

π

$π$ dengan

1

$1$ .

u_{lower} = π

$u_{lower} = π$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk

x

$x$ di

u = π x

$u = π x$ .

u_{upper} = π t

$u_{upper} = π t$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

u_{lower}

$u_{lower}$ dan

u_{upper}

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

u_{lower} = π

$u_{lower} = π$

u_{upper} = π t

$u_{upper} = π t$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ ,

d u

$d u$ , dan batas integral yang baru.

lim t \to \infty \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

lim t \to \infty \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Langkah 3

Kalikan

\frac{1}{\sqrt{u}}

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan

\frac{1}{π}

$\frac{1}{π}$ .

lim t \to \infty \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Langkah 4

Karena

\frac{1}{π}

$\frac{1}{π}$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

\frac{1}{π}

$\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

lim t \to \infty \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ sebagai

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

lim t \to \infty \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 5.2

Pindahkan

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat

- 1

$- 1$ .

lim t \to \infty \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 5.3

Kalikan eksponen dalam

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 5.3.2

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap

$u$ adalah

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Langkah 7

Gabungkan

$\frac{1}{π}$ dan

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Langkah 8

Evaluasi

$2 u^{\frac{1}{2}}$ pada

$π t$ dan pada

$π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika

$t$ mendekati

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$t$ mendekati

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.2

Karena fungsi

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ mendekati

$\infty$ , konstanta positif

$2$ kali fungsi juga mendekati

$\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap

$2$ dihapus.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai

$\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.2.3

Ketika

$t$ mendekati

$\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi

$\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Evaluasi limit dari

$2 π^{\frac{1}{2}}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.3.2

Evaluasi limit dari

$π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{π}$

Langkah 9.3.3.2

Bilangan tak hingga dibagi dengan bilangan berhingga apa pun dan bukan nol hasilnya adalah tak hingga.

$\infty$