Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = π x$ . Kemudian $d u = π d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = π x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 2.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$u_{lower} = π$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Langkah 3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 5.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 5.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 5.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Langkah 8

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $π t$ dan pada $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.2

Karena fungsi ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $2$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $2$ dihapus.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.2.3

Ketika $t$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Evaluasi limit dari $2 π^{\frac{1}{2}}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Langkah 9.3.2

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{π}$

Langkah 9.3.3.2

Bilangan tak hingga dibagi dengan bilangan berhingga apa pun dan bukan nol hasilnya adalah tak hingga.

$\infty$