Kalkulus Contoh

$\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 1}$ sebagai ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 9.3

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 12

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 13.2

Kalikan $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 15

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tambahkan $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$\frac{x \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 15.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 16

Kalikan $\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ dengan $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 17

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 17.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 17.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 17.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 17.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 19

Kalikan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ dengan $1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.2

Kalikan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.2.1

Pindahkan ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.2.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{1} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.3

Sederhanakan $- 2 {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x - 2 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{x - 2 (x + 1) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 1 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.5.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x - 2 x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.6

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{- x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.1.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 20.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.4

Faktorkan $- 1$ dari $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.6

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.8

Tulis kembali $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ sebagai $- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$