Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (\frac{x}{2})$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.6

Gabungkan $\cos (\frac{x}{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.2.7

Gabungkan $3$ dan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ dan $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.1.2.1.2

Bagilah $\cos (\frac{x}{2})$ dengan $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Langkah 5.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 5.4

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x = π$

Langkah 5.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.6.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Sederhanakan $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 5.6.2.2.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 5.6.2.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.6.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.6.2.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Langkah 5.6.2.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = 4 π - π$

Langkah 5.6.2.2.1.6

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = 3 π$

Langkah 5.7

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Langkah 7.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Langkah 8

$x = π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$f (π) = 7$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$y = 7$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 3 π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Langkah 11.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Langkah 11.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Langkah 11.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Langkah 11.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{3}{4}$

Langkah 11.3

Kalikan $- - \frac{3}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Langkah 11.3.2

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 12

$x = 3 π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 3 π$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = 3 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $3 π$ pada pernyataan tersebut.

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Langkah 13.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Langkah 13.2.1.3

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Langkah 13.2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $4$ .

$f (3 π) = 1$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 14

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ adalah maksimum lokal

$(3 π, 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 15