Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + 2 x^{2}$ . Kemudian $d u = 4 x d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + 2 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$0 + 4 x$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $4 x$ .

$4 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $2^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1

Kalikan $2$ dengan $2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Langkah 1.5.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Langkah 1.5.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Langkah 1.5.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.6

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 6.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Langkah 6.2.10

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 6.2.11

Gabungkan $18$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 6.2.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Langkah 6.2.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.1

Kalikan $18$ dengan $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Langkah 6.2.13.2

Kurangi $2$ dengan $54$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Langkah 6.2.14

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

Langkah 6.2.15

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{52}{12}$

Langkah 6.2.16

Hapus faktor persekutuan dari $52$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.1

Faktorkan $4$ dari $52$ .

$\frac{4 (13)}{12}$

Langkah 6.2.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Langkah 6.2.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Langkah 6.2.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{13}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{13}{3}$

Bentuk Desimal:

$4.\overline{3}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$4 \frac{1}{3}$

Langkah 8