Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Kemudian $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $3 x^{2} - 3$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $6$ dengan $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Bentuk Desimal:

$5.78908503 \dots$

Langkah 8