Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{4}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ dari ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.3.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.6

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Karena $| r | < 1$ , deretnya konvergen.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 4.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 4.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

Langkah 4.2.6

Kalikan $- \frac{4}{3}$ dengan $1$ .

$a = - \frac{4}{3}$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Langkah 6.2.3

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 6.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 6.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 6.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Langkah 6.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2$