Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Langkah 4

Karena turunan dari $\sec (x)$ adalah $\tan (x) \sec (x)$ , maka integral dari $\tan (x) \sec (x)$ adalah $\sec (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Langkah 6

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Evaluasi $\sec (x)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $\frac{π}{4}$ .

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 7.1.2

Evaluasi $\sin (x)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $\frac{π}{4}$ .

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{3})$ adalah $2$ .

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 7.2.2

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 7.2.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 7.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Terapkan sifat distributif.

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.3

Kalikan $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.4

Terapkan sifat distributif.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Kalikan $\frac{6}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Kalikan $\frac{6}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 \sqrt{2}$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.3.2.4

Bagilah $3 \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Langkah 7.4.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- 3 \sqrt{2}$ .

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$2.07519655 \dots$